极值充分条件
设二元函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$上具有二阶连续偏导数，且$P_0$是$f$的稳定点。则当$H_f(P_0)$是正定矩阵时，$f$在点$P_0$处取得极小值；当$H_f(P_0)$是负定矩阵时，$f$在点$P_0$处取得极大值；当$H_f(P_0)$是不定矩阵，$f$在点$P_0$不取极值
证：
由$f$在$P_0$的二阶泰勒公式 $$ \begin{align*} f(x,y)-f(x_0,y_0)=&\ =&\nabla f(x_0,y_0)^T\begin{pmatrix}\Delta x\\ \Delta y \end{pmatrix}-\frac12(\Delta x,\Delta y)H_f(P_0)\begin{pmatrix}\Delta x\\ \Delta y \end{pmatrix}+o(\Delta x^2+\Delta y^2)\ &&\ =&(f_x,f_y)^T\begin{pmatrix}\Delta x\\ \Delta y \end{pmatrix}-\frac12(\Delta x,\Delta y)H_f(P_0)\begin{pmatrix}\Delta x\\ \Delta y \end{pmatrix}+o(\Delta x^2+\Delta y^2) \end{align*} $$ 假定$f$具有二阶连续偏导数，并记作： $$ H_f(P_0)=\begin{pmatrix}f_{xx}(P_0)&f_{xy}(P_0)\f_{yx}(P_0)&f_{yy}(P_0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}{P_0} $$ 由于$f$具有二阶连续偏导数，所以$f{xy}=f_{yx}$
由于$P_0$是$f$的稳定点，所以$f_x(P_0)=f_y(P_0)=0$，有 $$ \begin{align*}f(x,y)-f(x_0,y_0)=&\frac12(\Delta x,\Delta y)H_f(P_0)(\Delta x,\Delta y)^T+o(\Delta x^2+\Delta y^2)\ =&\frac12(\Delta x,\Delta y)\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}{P_0}(\Delta x,\Delta y)^T\=& f{xx}\Delta x^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}\Delta y^2+o(\Delta x^2+\Delta y^2) \end{align*} $$ 由二元一次方程$ax^2+bx+c$，不妨令$a=f_{xx},,b=2f_{xy}\Delta y,, c=f_{yy}\Delta y^2$,则$\Delta=b^2-4ac=4f_{xy}^2\Delta y^2-4f_{xx}f_{yy}\Delta y^2=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy}$
- $f_{xx}>0$,$\Delta=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy}<0$，$f_{xx}\Delta x^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}\Delta y^2+o(\Delta x^2+\Delta y^2)$是一个开口向上，与x轴没有交点的抛物线，此时$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_{xx}\Delta x^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}\Delta y^2+o(\Delta x^2+\Delta y^2)>0$成立，得证$f$在$P_0$处取得极小值
- $f_{xx}<0,,\Delta=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy}<0$，则$f$为开口向下，与x轴没有交点的抛物线，函数恒小于0，此时$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_{xx}\Delta x^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}\Delta y^2+o(\Delta x^2+\Delta y^2)<0$，即$f$在点$P_0$处取得极大值
- $\Delta=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy}>0$时，抛物线与x轴有交点，有正有负，$f$在$P_0$处不能取得极值
- $\Delta=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy}=0$时，不能肯定$f$是否在点$P_0$处取得极值
若$H_f$正定，则$H_f$的顺序主子式都大于0，所以$f_{xx}>0,f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0$时，恰好$H_f$正定，且$f$在$P_0$处取得极小值，
若$H_f$负定，$f_{xx}<0,f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0$时，$f$在$P_0$处取得极大值
若$H_f$不定，则不取得极值